PÉNDULOS

Aquí se muestran algunas aplicaciones de métodos numéricos para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales. El problema a tratar son péndulos desde el péndulo doble hasta el cuádruple, pensando en que se sobre pone uno sobre otro de forma tal que su movimiento este restringido a un plano.

Para poder usar los métodos numéricos de soluciones de ecuaciones diferenciales como runge kutta necesitamos las ecuaciones que describen el movimiento de las lentejas.

Para ello la forma mas cómoda de calcularlas es usando el Lagrangiano con las coordenadas generalizadas vistas como ángulos con respecto a la vertical.

Cada sistema tiene la misma cantidad de grados de libertad que numero de péndulos concatenados.

Así para cada péndulo se tienen las siguiente ecuaciones:

Consideramos que cada masa se enumera con m₁,m₂,m₃...
cada longitud respectiva a cada péndulo es l₁,l₂,l₃...
cada ángulo correspondiente a cada péndulo es α β γ ...
cada derivada con respecto al tiempo correspondiente a cada péndulo es α' β' γ' ...
cada segunda derivada con respecto al tiempo correspondiente a cada péndulo es α'' β'' γ'' ...

Doble
Energía Potencial T

T=- (g (l₁ (m₁ + m₂) Cos ( α ) + l₂ m₂ Cos ( β )))

Energía Cinética K

K=(l₁² (m₁ + m₂) α'² + l₂² m₂ β'² + 2 l₁ l₂ m₂ α' β' Cos (α - β)) / 2

Lagrangiano L=K-T

L=(l₁² (m₁ + m₂) α'²) / 2 + (l₂² m₂ β'²) / 2 + g l₁ (m₁ + m₂) Cos (α)+ l₁ l₂ m₂ α' β' Cos (α - β) + g l₂ m₂ Cos (β)

Ecuaciones de movimiento

α''=-(g ( 2 m₁ + m₂) Sin (α) + g m₂ Sin (α - 2 β) + 2 m₂ (l₂ β'² + l₁ α'² Cos (α - β)) Sin (α - β)) / ( 2 l₁ (m₁ + m₂ - m₂ Cos (α - β)²))

β''=(((m₁ + m₂) (l₁ α'² + g Cos (α)) + l₂ m₂ β'² Cos (α - β)) Sin (α - β)) / (l₂ (m₁ + m₂ - m₂ Cos (α - β)²))

Triple
Energía Potencial T

T=-(g (l₁ (m₁ + m₂ + m₃) Cos (α) + l₂ (m₂ + m₃) Cos (β) + l₃ m₃ Cos (γ)))

Energía Cinética k

K=(l₁² (m₁ + m₂ + m₃) α'² + l₂² (m₂ + m₃) β'² + l₃² m₃ γ'² + 2 l₁ α' (l₂ (m₂ + m₃) β' Cos (α - β) + l₃ m₃ γ' Cos (α - γ)) + 2 l₂ l₃ m₃ β' γ' Cos (β - γ)) / 2

Lagrangiano L=K-T

L=(l₁² (m₁ + m₂ + m₃) α'² + l₂² (m₂ + m₃) β'² + l₃² m₃ γ'² + 2 l₁ α' (l₂ (m₂ + m₃) β' Cos (α - β) + l₃ m₃ γ' Cos (α - γ)) + 2 l₂ l₃ m₃ β' γ' Cos (β - γ)) / 2 + g (l₁ (m₁ + m₂ + m₃) Cos (α) + l₂ (m₂ + m₃) Cos (β) + l₃ m₃ Cos (γ))

Ecuaciones de movimiento

α''= -((g (m₂ (m₂ + m₃) + m₁ ( 2 m₂ + m₃) - m₁ m₃ Cos ( 2 (β - γ))) Sin (α) + g m₂ (m₂ + m₃) Sin (α - 2 β) + 2 m₂ ((m₂ + m₃) (l₂ β'² + l₁ α'² Cos (α - β)) + l₃ m₃ γ'² Cos (β - γ)) Sin (α - β)) / (l₁ (m₂ ( 2 m₁ + m₂) + (m₁ + m₂) m₃ - m₂ (m₂ + m₃) Cos (2 (α - β)) - m₁ m₃ Cos (2 (β - γ)))))

β''= (l₁ α'² ( ( 2 m₂ (m₁ + m₂) + (m₁ + 2 m₂) m₃) Sin (α - β) - m₁ m₃ Sin (α + β - 2 γ)) + g Cos (α) ( ( 2 m₂ (m₁ + m₂) + (m₁ + 2 m₂) m₃) Sin (α - β) - m₁ m₃ Sin (α + β - 2 γ)) + 2 l₃ m₃ γ'² (m₂ Cos (α - γ) Sin (α - β) - m₁ Sin (β - γ)) + l₂ β'² (m₂ (m₂ + m₃) Sin (2 (α - β)) - m₁ m₃ Sin (2 (β - γ)))) / (l₂ (m₂ (2 m₁ + m₂) + (m₁ + m₂) m₃ - m₂ (m₂ + m₃) Cos (2 (α - β)) - m₁ m₃ Cos (2 (β - γ))))

γ''= ( 2 m₁ ((m₂ + m₃) (l₂ β'² + (l₁ α'² + g Cos (α)) Cos (α - β)) + m₂) m₃ - m₂ (m₂ + m₃) Cos ( 2 (α - β)) - m₁ m₃ Cos ( 2 (β - γ))))

Cuadruple
Energía Potencial T

T=-(g (l₁ (m₁ + m₂ + m₃ + m₄) Cos (α) + l₂ (m₂ + m₃ + m₄) Cos (β) + l₃ (m₃ + m₄) Cos (γ) + l₄ m₄ Cos (δ)))

Energía Cinética K

K=(l₁² (m₁ + m₂ + m₃ + m₄) α'² + l₂² (m₂ + m₃ + m₄) β'² + l₃² (m₃ + m₄) γ'² + l₄² m₄ δ'² + 2 l₁ α' (l₂ (m₂ + m₃ + m₄) β' Cos (α - β) + l₃ (m₃ + m₄) γ' Cos (α - γ) + l₄ m₄ δ' Cos (α - δ)) + 2 l₂ β' (l₃ (m₃ + m₄) γ' Cos (β - γ) + l₄ m₄ δ' Cos (β - δ)) + 2 l₃ l₄ m₄ γ' δ' Cos (γ - δ)) / 2

Lagrangiano L=K-T

L=(l₁² (m₁ + m₂ + m₃ + m₄) α'² + l₂² (m₂ + m₃ + m₄) β'² + l₃² (m₃ + m₄) γ'² + l₄² m₄ δ'² + 2 l₁ α' (l₂ (m₂ + m₃ + m₄) β' Cos (α - β) + l₃ (m₃ + m₄) γ' Cos (α - γ) + l₄ m₄ δ' Cos (α - δ)) + 2 l₂ β' (l₃ (m₃ + m₄) γ' Cos (β - γ) + l₄ m₄ δ' Cos (β - δ)) + 2 l₃ l₄ m₄ γ' δ' Cos (γ - δ))/2 + g (l₁ (m₁ + m₂ + m₃ + m₄) Cos (α) + l₂ (m₂ + m₃ + m₄) Cos (β) + l₃ (m₃ + m₄) Cos (γ) + l₄ m₄ Cos (δ))

Ecuaciones de movimiento

α''= (- 2 m₂ ( 2 m₃ Cos (β - γ) (l₃ (m₃ + m₄) γ'² + l₄ m₄ δ'² Cos (γ - δ)) + l₂ β'² ( 2 m₃ (m₂ + m₃) + (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ m₄ Cos ( 2 (γ - δ))) + l₁ α'² Cos (α - β) ( 2 m₃ (m₂ + m₃) + (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ m₄ Cos ( 2 (γ - δ)))) Sin (α - β) + g ((- 2 m₂ m₃ (m₂ + m₃) - m₂ (m₂ + 2 m₃) m₄ - 2 m₁ (m₃ (m₃ + m₄) + m₂ ( 2 m₃ + m₄)) + 2 m₁ m₃ (m₃ + m₄) Cos ( 2 (β - γ)) + m₂ (2 m₁ + m₂) m₄ Cos ( 2 (γ - δ)) - m₂ Cos ( 2 β) (2 m₃ (m₂ + m₃) + (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ m₄ Cos ( 2 (γ - δ)))) Sin (α) + m₂ Cos (α) ( 2 m₃ (m₂ + m₃) + (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ m₄ Cos ( 2 (γ - δ))) Sin ( 2 β)))/(l₁ (2 m₂ m₃ (m₂ + m₃) + m₂ (m₂ + 2 m₃) m₄ + 2 m₁ (m₃ (m₃ + m₄) + m₂ ( 2 m₃ + m₄)) - 2 m₁ m₃ (m₃ + m₄) Cos ( 2 (β - γ)) - m₂ (2 m₁ + m₂) m₄ Cos ( 2 (γ - δ)) - m₂ Cos ( 2 (α - β)) ( 2 m₃ (m₂ + m₃) + (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ m₄ Cos ( 2 (γ - δ)))))

β''=( 2 l₁ α'² ((2 m₂ m₃ (m₂ + m₃) + m₁ m₃ ( 2 m₂ + m₃) + m₁ (m₂ + m₃) m₄ + m₂ (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ (m₁ + m₂) m₄ Cos ( 2 (γ - δ))) Sin (α - β) - m₁ m₃ (m₃ + m₄) Sin (α + β - 2 γ)) + 2 g Cos (α) (( 2 m₂ m₃ (m₂ + m₃) + m₁ m₃ ( 2 m₂ + m₃) + m₁ (m₂ + m₃) m₄ + m₂ (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ (m₁ + m₂) m₄ Cos ( 2 (γ - δ))) Sin (α - β) - m₁ m₃ (m₃ + m₄) Sin (α + β - 2 γ)) + 4 m₃ (l₃ (m₃ + m₄) γ'² + l₄ m₄ δ'² Cos (γ - δ)) (m₂ Cos (α - γ) Sin (α - β) - m₁ Sin (β - γ)) + l₂ β'² (m₂ ( 2 m₃ (m₂ + m₃) + (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ m₄ Cos ( 2 (γ - δ))) Sin ( 2 (α - β)) - 2 m₁ m₃ (m₃ + m₄) Sin ( 2 (β - γ))))/(l₂ ( 2 m₂ m₃ (m₂ + m₃) + m₂ (m₂ + 2 m₃) m₄ + 2 m₁ (m₃ (m₃ + m₄) + m₂ ( 2 m₃ + m₄)) - 2 m₁ m₃ (m₃ + m₄) Cos ( 2 (β - γ)) - m₂ (2 m₁ + m₂) m₄ Cos ( 2 (γ - δ)) - m₂ Cos ( 2 (α - β)) ( 2 m₃ (m₂ + m₃) + (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ m₄ Cos ( 2 (γ - δ)))))

γ''= (4 l₂ m₁ β'² (( 2 m₃ (m₃ + m₄) + m₂ ( 2 m₃ + m₄)) Sin (β - γ) - m₂ m₄ Sin (β + γ - 2 δ)) + 4 l₁ m₁ α'² Cos (α - β) (( 2 m₃ (m₃ + m₄) + m₂ ( 2 m₃ + m₄)) Sin (β - γ) - m₂ m₄ Sin (β + γ - 2 δ)) + 4 g m₁ Cos (α) Cos (α - β) (( 2 m₃ (m₃ + m₄) + m₂ ( 2 m₃ + m₄)) Sin (β - γ) - m₂ m₄ Sin (β + γ - 2 δ)) + 4 l₄ m₄ δ'² (m₁ m₃ Sin ( 2 β - γ - δ) - (m₂ ( 2 m₁ + m₂) + (m₁ + m₂) m₃ - m₂ (m₂ + m₃) Cos ( 2 (α - β))) Sin (γ - δ)) + l₃ γ'² (4 m₁ m₃ (m₃ + m₄) Sin ( 2 (β - γ)) + 2 m₂ m₄ (- 2 m₁ - m₂ + m₂ Cos ( 2 (α - β))) Sin ( 2 (γ - δ))))/( 2 l₃ ( 2 m₂ m₃ (m₂ + m₃) + m₂ (m₂ + 2 m₃) m₄ + 2 m₁ (m₃ (m₃ + m₄) + m₂ (2 m₃ + m₄)) - 2 m₁ m₃ (m₃ + m₄) Cos ( 2 (β - γ)) - m₂ ( 2 m₁ + m₂) m₄ Cos ( 2 (γ - δ)) - m₂ Cos ( 2 (α - β)) (2 m₃ (m₂ + m₃) + (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ m₄ Cos ( 2 (γ - δ)))))

δ''=-((m₂ ((m₃ + m₄) ( 2 l₃ γ'² ( 2 m₁ + m₂ - m₂ Cos ( 2 (α - β))) + 2 m₁ ( 2 l₂ β'² + 2 (l₁ α'² + g Cos (α)) Cos (α - β)) Cos (β - γ)) + 2 l₄ m₄ δ'² ( 2 m₁ + m₂ - m₂ Cos ( 2 (α - β))) Cos (γ - δ)) Sin (γ - δ))/(l₄ (- 2 m₃ (m₂ ( 2 m₁ + m₂) + (m₁ + m₂) m₃) - (m₂ ( 2 m₁ + m₂) + 2 (m₁ + m₂) m₃) m₄ + 2 m₁ m₃ (m₃ + m₄) Cos ( 2 (β - γ)) + m₂ ( 2 m₁ + m₂) m₄ Cos ( 2 (γ - δ)) + m₂ Cos ( 2 (α - β)) ( 2 m₃ (m₂ + m₃) + (m₂ + 2 m₃) m₄ - m₂ m₄ Cos ( 2 (γ - δ))))))

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