Aquí se muestran algunas aplicaciones de
métodos numéricos para encontrar soluciones
a ecuaciones diferenciales.
El problema a tratar son péndulos
desde el péndulo doble hasta el cuádruple,
pensando en que se sobre pone uno sobre otro de
forma tal que su movimiento este restringido a un plano.
Para poder usar los métodos numéricos de soluciones
de ecuaciones diferenciales como runge kutta
necesitamos las ecuaciones que describen el
movimiento de las lentejas.
Para ello la forma mas cómoda de calcularlas es
usando el Lagrangiano con las coordenadas generalizadas
vistas como ángulos con respecto a la vertical.
Cada sistema tiene la misma cantidad de grados de libertad que
numero de péndulos concatenados.
Así para cada péndulo se tienen las siguiente ecuaciones:
Consideramos que cada masa se enumera con m₁,m₂,m₃...
cada longitud respectiva a cada péndulo es l₁,l₂,l₃...
cada ángulo correspondiente a cada péndulo es α β γ ...
cada derivada con respecto al tiempo correspondiente a cada péndulo es α' β' γ' ...
cada segunda derivada con respecto al tiempo correspondiente a cada péndulo es α'' β'' γ'' ...
Doble
Energía Potencial T
T=- (g (l₁ (m₁ + m₂) Cos ( α ) + l₂ m₂ Cos ( β )))
Energía Cinética K
K=(l₁² (m₁ + m₂) α'² + l₂² m₂ β'² + 2 l₁ l₂ m₂ α' β' Cos (α - β)) / 2
Lagrangiano L=K-T
L=(l₁² (m₁ + m₂) α'²) /2 + (l₂² m₂ β'²) /2 + g l₁ (m₁ + m₂) Cos (α)+ l₁ l₂ m₂ α' β' Cos (α - β) + g l₂ m₂ Cos (β)
Ecuaciones de movimiento
α''=-(g ( 2 m₁ + m₂) Sin (α) + g m₂ Sin (α - 2 β) + 2 m₂ (l₂ β'² +
l₁ α'² Cos (α - β)) Sin (α - β)) / ( 2 l₁ (m₁ + m₂ - m₂ Cos (α -
β)²))
β''=(((m₁ + m₂) (l₁ α'² + g Cos (α)) + l₂ m₂ β'² Cos (α - β)) Sin (α -
β)) / (l₂ (m₁ + m₂ - m₂ Cos (α - β)²))
Triple
Energía Potencial T
T=-(g (l₁ (m₁ + m₂ + m₃) Cos (α) + l₂ (m₂ + m₃) Cos (β) +
l₃ m₃ Cos (γ)))
Energía Cinética k
K=(l₁² (m₁ + m₂ + m₃) α'² + l₂² (m₂ + m₃) β'² + l₃² m₃ γ'² +
2 l₁ α' (l₂ (m₂ + m₃) β' Cos (α - β) + l₃ m₃ γ' Cos (α - γ)) +
2 l₂ l₃ m₃ β' γ' Cos (β - γ)) / 2
Lagrangiano L=K-T
L=(l₁² (m₁ + m₂ + m₃) α'² + l₂² (m₂ + m₃) β'² + l₃² m₃ γ'² +
2 l₁ α' (l₂ (m₂ + m₃) β' Cos (α - β) + l₃ m₃ γ' Cos (α - γ)) +
2 l₂ l₃ m₃ β' γ' Cos (β - γ)) / 2 + g (l₁ (m₁ + m₂ + m₃) Cos (α) +
l₂ (m₂ + m₃) Cos (β) + l₃ m₃ Cos (γ))
